חקרה עם פרמטר -בגרות 2020 571חקירת פונקציות 571 · שיעור 84

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 84: חקרה עם פרמטר -בגרות 2020 571

שאלות בגרות -חקירת מנה עם פרמטר

1🔵 סעיף א: תחום ההגדרה של פונקציית המנה f(x)

2🟣 סעיף ב: אסימפטוטות המאונכות לצירים – אנכית ואופקית

3🟢 סעיף ג: נקודות החיתוך עם ציר x באמצעות a

4🔷 סעיף ד: נקודות הקיצון של הפונקציה – נגזרת מנה

5🟣 סעיף ה: סקיצה של גרף הפונקציה f(x) עבור a > 0

6🟢 סעיף ו: מספר נקודות הקיצון של g(x) = (f(x+1)) 2020

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² − ax³ , a ≠ 0 הוא פרמטר.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?

ב. מצא את משוואות האסימפטוטות של f(x) המאונכות לצירים.

ג. הבע באמצעות a את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה-x. רשום לאילו ערכי a יש נקודות חיתוך.

ד. הבע באמצעות a את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן. רשום לאילו ערכי a יש נקודות קיצון.

ה. ענה על סעיפים ה–ו עבור a > 0. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

📄 נוסח השאלה · המשך

ו. נתונה הפונקציה g(x) = (f(x+1))²⁰²⁰. היעזר בסעיפים הקודמים וקבע את מספר נקודות הקיצון של הפונקציה g(x).

🔵 סעיף א: תחום ההגדרה של פונקציית המנה f(x)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?

המכנה שונה מ-0:

x³ ≠ 0

x ≠ 0

✅ x ≠ 0

🟣 סעיף ב: אסימפטוטות המאונכות לצירים – אנכית ואופקית

מצא את משוואות האסימפטוטות של f(x) המאונכות לצירים.

אנכית: ההפך מהתחום, אם לא מאפס את המונה.

x = 0 במונה: 0² − a = −a ≠ 0 (כי a ≠ 0) ← לא מאפס.

אנכית: x = 0

אופקית: משווים חזקות: במכנה x³ (חזקה 3), במונה x² (חזקה 2).

החזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← y = 0

✅ x = 0 , y = 0

🟢 סעיף ג: נקודות החיתוך עם ציר x באמצעות a

הבע באמצעות a את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה-x. רשום לאילו ערכי a יש נקודות חיתוך.

מציבים y = 0:

0 = x² − ax³

כופלים ב-x³:

0 = x² − a

x² = a

x = ±√a

יש פתרון רק כש-a > 0 (אין שורש למספר שלילי).

✅ (±√a , 0) , עבור a > 0

🔷 סעיף ד: נקודות הקיצון של הפונקציה – נגזרת מנה

הבע באמצעות a את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן. רשום לאילו ערכי a יש נקודות קיצון.

נגזרת מנה: (uv)′ = u′·v − v′·uv²

f′(x) = 2x · x³ − 3x² (x² − a)(x³)²

f′(x) = 0 ← רק המונה שווה 0:

2x⁴ − 3x⁴ + 3ax² = 0

−x⁴ + 3ax² = 0

x²(−x² + 3a) = 0

x² = 0 ← x = 0 לא בתחום

−x² + 3a = 0 ← x² = 3a

x = ±√3a

דרך קצרה לסימן:

🔷 סעיף ד: נקודות הקיצון של הפונקציה – נגזרת מנה · המשך

דרך קצרה לסימן:

f′(x) = x²(−x² + 3a)x⁶

= −x² + 3ax⁴

המכנה x⁴ חיובי, לכן הסימן של f′(x) כמו הסימן של −x² + 3a – פרבולה הפוכה (∩) שחותכת ב-±√3a: חיובית בין השורשים, שלילית מחוץ להם.

x		−√3a		0		√3a
f′(x)	−	0	+		+	0	−
f(x)	↘	min	↗	אס׳	↗	max	↘

ה-y של הקיצון:

f(√3a) = (√3a)² − a(√3a)³

🔷 סעיף ד: נקודות הקיצון של הפונקציה – נגזרת מנה · המשך

f(√3a) = (√3a)² − a(√3a)³

= 3a − a(3a)^½·3 = 2a(3a)^1½

f(−√3a) = 3a − a(−√3a)³

= −2a(3a)^1½

x = ±√3a קיים רק כש-a > 0 ← יש קיצון עבור a > 0.

✅
max (√3a , 2a(3a)^1½)
min (−√3a , −2a(3a)^1½)
יש קיצון עבור a > 0

🟣 סעיף ה: סקיצה של גרף הפונקציה f(x) עבור a > 0

ענה על סעיפים ה–ו עבור a > 0. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

אסימפטוטות: x = 0 (ציר y), y = 0 (ציר x).

חיתוך: (±√a , 0); max ב-√3a (y חיובי), min ב-−√3a (y שלילי).

✅ הסקיצה למעלה

🟢 סעיף ו: מספר נקודות הקיצון של g(x) = (f(x+1)) 2020

נתונה הפונקציה g(x) = (f(x+1))²⁰²⁰. היעזר בסעיפים הקודמים וקבע את מספר נקודות הקיצון של הפונקציה g(x).

f(x+1) ← כל הגרף זז 1 שמאלה: כל x של נקודה קטן ב-1.

בחזקת 2020 (זוגית): כל ערך y שלילי הופך לחיובי, 0 נשאר 0, והחיובי רק עולה.

ה-min ב-x = −√3a −1 הופך ל-max (ה-y שלו נהיה חיובי).

ה-max ב-x = √3a −1 נשאר max.

בחיתוכים x = −√a −1 ו-x = √a −1 הגרף יורד ל-0 ועולה שוב ← שתי נקודות min.

(סקיצה – הגבהים לא בקנה מידה)

✅ 4 נקודות קיצון

📌 לזכור

💡

נגזרת מנה: כשהמכנה חיובי (x⁴), הסימן של f′ נקבע רק לפי המונה. חזקה זוגית הופכת כל y שלילי לחיובי, וחיתוך עם ציר x הופך לנקודת מינימום.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא